Le Théorème de Bayes

En théorie des probabilités (L’étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l’incertitude. Les objets centraux de la théorie des probabilités sont les variables aléatoires, les processus stochastiques), le théorème de Bayes énonce des probabilités conditionnelles: soit A et B deux évènements, le théorème de Bayes permet de déterminer la probabilité de A sachant B, si l’on connaît les probabilités

• de A,
• de B et
• de B sachant A.

Ce théorème élémentaire (originellement nommé de probabilité des causes) a des applications considérables.

Pour aboutir au théorème de Bayes, on part d’une des définitions de la probabilité conditionnelle:

en notant :                                               

la probabilité que A et B aient tous les deux lieu.

En divisant de part et d’autre par P(B), on obtient:

soit le théorème de Bayes.

Chaque terme du théorème de Bayes a une dénomination usuelle.

Le terme P(A) est la probabilité a priori de A. Elle est «antérieure» au sens qu’elle précède toute information sur B. P(A) est aussi appelée la probabilité marginale de A.

Le terme P(A|B) est appelé la probabilité a posteriori de A sachant B (ou encore de A sous condition B) . Elle est «postérieur », au sens qu’elle dépend directement de B.

Le terme P(B|A), pour un B connu, est appelée la fonction de vraisemblance de A.

De même, le terme P(B) est appelé la probabilité marginale ou a priori de B.

L’école bayésienne utilise les probabilités comme moyen de traduire numériquement un degré de connaissance. Dans cette optique, le théorème de Bayes peut s’appliquer à toute proposition, quelle que soit la nature des variables.